☆ Équations encore plus complexes - Vers le supérieur - Corrigé

Énoncé

Résoudre dans \(\mathbb{C}\)  l'équation  \(z^2=-5+4i\) .

Conseil  : on pourra poser  \(z=x+iy\)  avec  \(x\)  et  \(y\) réels.

Solution

Par unicité de la partie réelle et de la partie imaginaire d'un nombre complexe, on obtient :

\(z^2 = -5+4i\iff x^2-y^2 + 2ixy = -5 + 4i \\\iff \left\{ \begin{array}{l}x^2-y^2 = -5 \\ 2xy = 4\end{array} \right.\)

\(\iff \left \{ \begin{array}{l}x^2- \frac{4}{x^2} +5 =0 \\ y = \frac{2}{x}\end{array} \right.\)

\(\iff \left\{\begin{array}{l}x^4 +5x^2 -4 =0 \\ y = \frac{2}{x}\end{array} \right.\)

On pose  \(X=x^2\)

\(x^4 +5x^2 -4 =0 \iff X^2+5X-4=0\)

\(X^2+5X-4=0 \iff X= \frac{-5 + \sqrt{41}}{2} ou X=\frac{-5 - \sqrt{41}}{2}\)

Donc  \(x^4 +5x^2 -4 =0 \iff x^2 = = \frac{-5 + \sqrt{41}}{2} ou x^2=\frac{-5 - \sqrt{41}}{2} \iff x^2 = = \frac{-5 + \sqrt{41}}{2} car \frac{-5 - \sqrt{41}}{2} <0\)

Ainsi  \(x^4 +5x^2 -4 =0 \iff x= \sqrt{\frac{-5 + \sqrt{41}}{2}} ou x= -\sqrt{\frac{-5 + \sqrt{41}}{2}} car \frac{-5 + \sqrt{41}}{2} \geq 0\)

Il en résulte que, en posant  \(x_1 = \sqrt{\frac{-5 + \sqrt{41}}{2}}\)  et  \(x_2 = -\sqrt{\frac{-5 + \sqrt{41}}{2}}\) , on obtient :
\(S= \lbrace x_1 + \frac{2}{x_1} i ; x_2 + \frac{2}{x_2} i \rbrace\) .